В наше время, работать частным преподавателем, возможно по трём вариантам.
1. Заключить трудовое соглашение и работать в штате репетиторского агентства.
2. Организовать своё частное агентство, и зарегистрировать себя как частное юридическое лицо.
3. Или открыть индивидуальное предпринимательство на своё имя.
Специальной лицензии на репетиторскую деятельность, получать не надо.